正定矩阵是一个非常重要且广泛应用于物理、数学和工程领域的概念，它定义在实数的二次型上，具有许多优良的性质。本文将详细介绍正定矩阵的定义和性质。
正定矩阵的定义
设A是n阶实对称矩阵，称A为正定矩阵，如果对任意非零实列向量$x$，都有$x^TAx>0$。
其中$^T$表示矩阵的转置，$x^T$表示列向量x的转置行向量。
正定矩阵的性质
正定矩阵具有以下优良的性质：
- 正定矩阵的所有特征值均为正数；
- 正定矩阵的对角线元素也是正数；
- 正定矩阵的行列式大于0；
- 若A，B均为正定矩阵，则A B和AB都是正定矩阵。
正定矩阵的应用
正定矩阵在实际应用中有广泛的应用：
- 在最小二乘法中，正定矩阵可以判断回归方程是否是有效的；
- 在机器学习中，正定矩阵常用于定义二次型和核函数；
- 在物理中，正定矩阵可以用于描述某些物理量的基态性质。
